Δευτέρα, 31 Οκτωβρίου 2011

(Λ) δύο αυτοκίνητα

   Ένα αυτοκίνητο διανύει 80 χιλιόμετρα στον ίδιο χρόνο που ένα άλλο κινούμενο γρηγορότερα κατά 20 χιλιόμετρα ανά ώρα διανύει 120 χιλιόμετρα.

   Πόση ώρα διαρκεί το ταξίδι των δύο αυτοκινήτων.










ΛΥΣΗ (Νίκος) : Αφού το δεύτερο αυτοκίνητο τρέχει με 20 km/h γρηγορότερα από το πρώτο σε μια ώρα θα διανύει 20 χιλιόμετρα παραπάνω από αυτό. Αφού λοιπόν διανύει συνολικά 40 χιλιόμετρα παραπάνω(120-80),στον ίδιο χρόνο, θα κινούνται για δυο ώρες.

(Α) το τρένο

   Σε ένα τρένο που διασχίζει την Ελβετία κάθονται ένας φιλόσοφος, ένας φυσικός και ένας μαθηματικός. Καθώς ταξιδεύουν χαζεύουν έξω από το παράθυρο και βλέπουν ένα κοπάδι με πρόβατα από τα οποία ένα είναι μαύρο.
   Λέει λοιπόν ο φιλόσοφος : "Στην Ελβετία υπάρχουν μαύρα πρόβατα",
   τον διορθώνει ο φυσικός : "Μα τι λέτε τώρα ; Στην Ελβετία υπάρχει ένα τουλάχιστο μαύρο πρόβατο"
   έξαλλος ο μαθηματικός τους διορθώνει και τους δύο λέγοντας ;

για το κείμενο αυτό ευχαριστώ τον καθηγητή μου στο πανεπιστήμιο κ.Στεφανίδη, ο οποίος μου έδωσε να καταλάβω, με ένα πολύ απλό τρόπο, τι θα πει να είσαι μαθηματικός. Καθηγητής με όλη τη σημασία της λέξης, με έδρα και σε ένα απο τα κορυφαία πανεπιστήμια της Γερμανίας.


Σε ευχαριστώ δάσκαλε, κι ας μη μου άρεσε ποτέ η γεωμετρία!!!

(Λ) τηλεπαιχνίδι με δώρα

   Σε ένα τηλεπαιχνίδι, ο παρουσιαστής δίνει το δικαίωμα στον παίκτη να επιλέξει μεταξύ 3 κουτιών που μόνο το ένα περιέχει δώρο.
   Αφού κάνει την επιλογή του, τότε ο παρουσιαστής γνωρίζοντας ποιό κουτί περιέχει το δώρο ανοίγει ένα από τα δύο που δεν επέλεξε ο παίκτης και προαφνώς είναι άδειο.
  Δίνει τότε το δικαίωμα στον παίκτη να αλλάξει επιλογή αν θέλει.

   Η ερώτηση : Συμφέρει τον παίκτη να αλλάξει επιλογή ; και γιατί ;










ΛΥΣΗ : Ξεκινώντας το παιχνίδι έχει 33% πιθανότητα να είναι κερδισμένος και άρα 66% πιθανότητα να είναι άδειο το κουτί του. Μόλις όμως του ανοίξει το ένα από τα δύο κουτιά οι πιθανότητες "ήττας" είναι πλέον οι πιθανότητες "νίκης" που είχε γιατί πλέον ζητάει η αρχική του επιλογή να είναι λάθος, άρα πλέον πάιζει με 66% Οπότε προφανώς τον συμφέρει να αλλάξει επιλογή

(Λ) ο γρίφος του Einstein


Yπάρχουν πέντε σπίτια πέντε διαφορετικών χρωμάτων.
Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας.
Οι πέντε ιδιοκτήτες πίνουν ένα συγκεκριμένο είδος ποτού.
Καπνίζουν μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχουν
ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο. 'Ολοι έχουν μεταξύ τους
διαφορετικά κατοικίδια, διαφορετικές μάρκες τσιγάρων
και διαφορετικά είδη ποτών.

Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;

ΣΤΟΙΧΕΙΑ:
1. Ο Αγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι.
2. Ο Σουηδός έχει σκύλο.
3. Ο Δανός πίνει τσάι.
4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο σπίτι.
5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.
6. Αυτός που καπνίζει Pall mall εκτρέφει πουλιά.
7. O ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.
8. Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι.
10. Αυτός που καπνίζει Blends μένει δίπλα σ' αυτόν που έχει γάτες.
11. Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σ' αυτόν που καπνίζει Dunhill.
12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει BluemaSters πίνει μπύρα.
13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι.
15. Αυτός που καπνίζει Blends έχει ένα γείτονα που πΙνει νερό.

Σχόλιο : επειδή είναι προφανές ότι αν το google-άρουμε θα μας βγάλει άμεσα τη λύση, προτείνω (για να σας βοηθήσω στον τρόπο σκέψης της λύσης ) να φτιάξετε έναν πίνακα 5 γραμμών και 5 στηλών και να αρχίσετε από τα στάνταρ δεδομένα και μετά με συνδυασμούς θα προκύψουν οι υπόλοιπες πληροφορίες)










ΛΥΣΗ (Άκης) : στον παρακάτω πίνακα βλέπετε πώς τοποθετούνται, δίπλα σε κάθε στοιχείο του πίνακα υπάρχει ένας αριθμός που δείχνει με ποιά σειρά τοποθετούνται στον πίνακα. Τονίζω ότι δεν έχει καμία σχέση με την αρίθμηση με την οποία δίνονται τα στοιχεία στο αίνιγμα. Με μαύρο βλέπετε τα στοιχεία που έχουν μοναδική τοποθέτηση ενώ αυτά με κόκκινο είναι εκείνα τα τοποθετούμε "τυχαία" και κάνουμε δοκιμές μέχρι να συμφωνήσουν όλες οι πληροφορίες (κάτι σαν το sudoku ).

Άρα ο Γερμανός έχει το ψάρι.

(Λ) δύο τυχαίοι αριθμοί

   Σκέψου 2 αριθμούς διαφορετικούς μεταξύ τους και όχι μηδέν. Βρες το τετράγωνο του αθροίσματός τους και το τετράγωνο της διαφοράς τους και μετά αφαίρεσε τα αποτελέσματα. Διαίρεσε τη διαφορά με το γινόμενό των 2 αρχικών αριθμών.

   Βρήκες 4, εεεε ;
   Εξήγησέ μου γιατί ;










ΛΥΣΗ (Θωμάς) : επειδή (α+β)²=α²+2αβ+β² και (α-β)²=α²-2αβ+β², έχουμε  (α+β)² - (α+β)² = 4αβ και 4αβ/αβ= 4
Μαθηματικά γ' γυμνασίου

(Λ) το Παρτέρι

   Σε ένα παρτέρι σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου διαστάσεων 10 μέτρων x 5 μέτρα θέλουμε να φυτέψουμε τριανταφυλλιές. Οι τριανταφυλλιές πρέπει να φυτευτούν παράλληλα με τα όρια του παρτεριού και σε απόσταση 1 μέτρο η μια από την άλλη. Θέλουμε να γεμίσουμε όλη την επιφάνεια του παρτεριού με τριανταφυλλιές και όχι μόνο περιμετρικά.
   Αν το κάθε φυτώριο κόκκινης κοστίζει 3 € και άσπρης 2,5 €, πόσο θα κοστίσουν τα φυτώρια αν θέλουμε επιπλέον να φυτεύουμε εναλλάξ τα χρώματα ;










ΛΥΣΗ (Θωμάς) : στα 10 μέτρα και ανά μέτρο χωρούν 11 τριανταφυλλιές ( μια στην άκρη ακριβώς και άλλες 10 ανά μέτρο μέχρι την άλλη άκρη ) ενώ στα 5 μέτρα χωρούν 6 άρα συνολικά 66 τριανταφυλλιές, άρα (33x3) + (33x2,5) = 181.5 €.

(Λ) τα οκτώ 8άρια

   Πώς μπορείς με οκτώ 8άρια να φτιάξεις το 1000 ;










ΛΥΣΗ (Θωμάς) :
      8

      8
      8
    88
   888 +
1000

Κυριακή, 30 Οκτωβρίου 2011

(Λ) η Αρκούδα

   Ένας κυνηγός ξυπνάει το πρωί, πίνει τον καφέ του, παίρνει το όπλο του και ξεκινάει να πάει για κυνήγι.
   Περπατάει νότια 1 χιλιόμετρο όπου βλέπει μια αρκούδα, την οποία ακολουθεί για 1 χιλιόμετρο δυτικά μέχρι να τη σκοτώσει και μετά κουβαλάει την νεκρή αρκούδα για 1 χιλιόμετρο βόρεια και φτάνει σπίτι του.

   Τι χρώμα έχει η αρκούδα ;










ΛΥΣΗ (Κώστας) : Η αρκούδα είναι άσπρη γιατί το σπίτι του βρίσκεται στον Βόρειο πόλο (στον Νότιο πόλο ΔΕΝ υπάρχουν αρκούδες Κώστα μου-μόνο πιγκιούνοι).
Από άποψη μαθηματικών : μιλάμε για τρίγωνο με άθροισμα γωνιών 270 μοίρες που δεν είναι εφικτό στην Ευκλείδεια γεωμετρία, μόνο στη σφαιρική γεωμετρία στην προκείμενη περίπτωση
.

(Λ) οι κάλτσες

   Ένας αντιπρόσωπος μια εταιρίας ειδοποιήθηκε αργά το βράδυ ότι έπρεπε να φύγει επαγγελματικό ταξίδι (όχι δεν πήγε στην γκόμενα), οπότε στα σκοτεινά μιας και κοιμόταν η σύζυγος αποφάσισε να φτιάξει μόνος την βαλίτσα του. Ανοίγοντας το συρτάρι με τις κάλτσες θυμόταν ότι είχε 10 γκρίζες κάλτσες και 16 μάυρες.

   Πόσες κάλτσες πρέπει να πάρει ώστε να έχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι του ίδιου χρώματος ;










ΛΥΣΗ (Αλέξης) : 3

(Λ) οι Πρωτόπλαστοι

   Τι διαφορά είχε ο Αδάμ και η Εύα από κάθε άλλο άνθρωπο που περπάτησε στη γη ;










ΛΥΣΗ (Κώστας) : δεν είχαν ομφαλό

(Λ) Πώς γίνεται ;

   Προχτές ήμουν 30 και του χρόνου θα είμαι 33.
(όχι δεν μιλάω για μένα, και τα 30 και τα 33 τα έχω περάσει προ αρκετών ετών)

Πώς γίνεται αυτό ;










ΛΥΣΗ (Λιόκαλος) : αν είχαμε σήμερα πρωτοχρονιά  και εσυ είχες τα γεννέθλια σου 31 Δεκεμβρίου, τότε στις 30 ήσουν ακόμα 30 στις 31 μπήκες στα 31, στο τέλους του ίδιου χρόνου θα είσαι 32, και του χρόνου 33.

(Λ) το Μοναστήρι ( πολύ δύσκολο )

   Σε ένα μοναστήρι, την ώρα του πρωινού ο ηγούμενος λέει : "Αγαπητοί αδερφοί, κάποιοι μοναχοί πάσχουν από μία ασθένεια. Η ασθένεια αυτή δεν είναι κολλητική, δυστυχώς όμως είναι ανίατη και όσοι πάσχουν από αυτή έχουν έναν κόκκινο σταυρό στο μέτωπο. Θα παρακαλούσα όσους πάσχουν από την ασθένεια αυτή να αυτοκτονήσουν". Τελειώνουν το πρωινό τους και αποσύρονται στα κελιά τους.
   Την επόμενη μέρα και πάλι την ώρα του πρωινού λέει ο ηγούμενος : "Όπως σας έλεγα και εχτές κάποιοι μοναχοί πάσχουν από μια ασθένεια, η οποία δεν είναι κολλητική και ως μόνο ορατό σύμπτωμα έχει έναν κόκκινο σταυρό στο μέτωπο. Παρακαλούνται όσοι πάσχουν από την ασθένεια αυτή να αυτοκτονήσουν". Τελειώνουν και πάλι το πρωινό τους και αποσύρονται στα κελιά τους.
   Την τρίτη μέρα το πρωί και πάλι εν ώρα πρωινού παίρνει το λόγο ο ηγούμενος και λέει : "Αγαπητοί αδερφοί χαίρομαι που παρατηρώ ότι όσοι έπασχαν από την ασθένεια αυτή τελικά αυτοκτόνησαν".

   Και η ερώτηση είναι : πόσοι αυτοκτόνησαν ;

Απαραίτητες διευκρινήσεις : στο συγκεκριμένο μοναστήρι ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ να μιλούν μεταξύ τους οι μοναχοί, δεν υπάρχουν καθρέπτες (ή οποιαδήποτε άλλη γυαλιστερή επιφάνεια) ώστε να μπορεί ο κάθε μοναχός να δει το είδωλό του, οι μοναχοί περνούν όλη την υπόλοιπη μέρα στο κελί του ο καθένας και μιας και δεν είναι κολλητική η ασθένεια οι υπόλοιποι μοναχοί δεν κοιτούν επίμονα τους ασθενείς.
Κοινώς όσοι μοναχοί αντιλαμβάνονται ότι πάσχουν από την ασθένεια αυτή το κάνουν με καθαρά λογικές σκέψεις και όχι με "οπτικό" τρόπο.










ΛΥΣΗ (Ράνια & Θωμάς) : Η απάντηση είναι προφανώς 2.
Ας μπούμε στη θέση ενός από τους μοναχούς που ασθενούν,ΔΕΝ μπορεί να είναι μόνο ένας γιατί το πρώτο πρωινό δεν θα βλέπαμε άλλον και θα καταλαβαίναμε ότι εμείς είμαστε.
Πάμε στους 2, βλέπω λοιπόν τον καημένο τον 2° το πρώτο πρωινό και σκέφτομαι : "ω τον καημένο, πρέπει να αυτοκτονήσει", όμως τον βλέπω και το δεύτερο πρωινό άρα καταλβαίνω ότι και εγώ είμαι άρρωστος οπότε ...
Αν ήταν 3 ή περισσότεροι θα χρειάζονταν αντίστοιχα περισσότερες μέρες,
π.χ. για 3 θα τους έβλεπα ζωντανούς και το τρίτο πρωινό οπότε θα καταλάβαινα ότι ....

(Λ) το Χτίσιμο ενός τοίχου

   Πέντε εργάτες χτίζουν ένα τοίχο μαζί. Αν ο καθένας δούλευε μόνος του, τότε για να τελειώσει τον τοίχο θα χρειαζόταν :
   ο πρώτος 3 ώρες,
   ο δεύτερος 6 ώρες,
   ο τρίτος 2 ώρες,
   ο τέταρτος 10 ώρες και
   ο πέμπτος 4 ώρες.


Πόσες ώρες θα χρειαστούν και οι πέντε μαζί ;










ΛΥΣΗ (Κυριάκος) : Αν ο κάθε εργάτης δούλευε 1 ώρα τότε ο πρώτος θα έχτιζε το 1/3= 0,33 του τοίχου, ο δεύτερος το 1/6= 0,17 του τοίχου, ο τρίτος το 1/2= 0,50 του τοίχου, ο τέταρτος το 1/10= 0,10 του τοίχου και ο πέμπτος το 1/4= 0,25 του τοίχου.
Σε μία ώρα θα είχαν χτίσει ΟΛΟΙ μαζί 0,33+0,17+0,50+0,10+0,25 = 1,35 τοίχους, άρα θα χρειαστούν 1/1,35 της ώρας για να τον χτίσουν όλοι μαζί, οπότε 1/1,35 x 60 = 44,44 λεπτά δηλαδή 44 λεπτά και 26 δευτερόλεπτα περίπου (0,44 του λεπτού είναι 26 δευτερόλεπτα).
   Η διαδικασία αυτή, στα μαθηματικά, είναι γνωστή ως αναγωγή στη μονάδα (εδώ στη μονάδα του χρόνου) και διδάσκεται στην πέμπτη και την έκτη δημοτικού !!!

   Σχόλιο : αυτό το αίνιγμα αποτελεί ένα κλασσικό παράδειγμα πρακτικής αριθμητικής
.

(Λ) Ρακοσυλλέκτης ( ευκολάκι )

   Ένας ρακοσυλλέκτης μαζεύει αποτσίγαρα και από κάθε 7 αποτσίγαρα φτιάχνει ένα τσιγάρο.

   Αν βρει 49 αποτσίγαρα, πόσα τσιγάρα θα καπνίσει ;










ΛΥΣΗ (Κώστας, Αλέξης) : από τα 49 αποτσίγαρα θα φτιάξει 7 τσιγάρα τα οποία καπνίζοντάς τα θα του μείνουν άλλα 7 αποτσίγαρα οπότε θα φτιάξει ένα ακόμα. Σύνολο λοιπόν 8 τσιγάρα.

(Λ) Κάστρο

   Ένα κάστρο έχει περιμετρικά τάφρο πλάτους 2 μέτρων. Η πύλη είναι ανεβασμένη και ο στρατός που το πολιορκεί θέλει να εισβάλλει. Έχει στη διάθεση του μόνο 2 κομμάτια ξύλο πλάτους 50 εκατοστών και μήκους 2 μέτρων.
Πώς θα τα καταφέρει ;
















ΛΥΣΗ (Λευτέρης) : Πάμε πρώτα στο κόκκινο τρίγωνο κάτω αριστερά και εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα ("Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών") καταλήγουμε ότι η διαγώνιος έχει μήκος περίπου 2,83 μέτρα.
Πηγαίνοντας τώρα στο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι ορθογώνιο και ισοσκελές έχει ύψος 1 μέτρο, οπότε έχουμε 1 μέτρο + 0,5 μέτρα (πλάτος ξύλου) + 2 μέτρα (άλλο ξύλο) = 3,5 μέτρα, άρα περισσεύουν 67 περίπου εκατοστά για να πατήσει η μια στην γωνία και η άλλη πάνω στην πρώτη και την γωνία του κάστρου.

Μαθηματικά β' γυμνασίου